比例と反比例 2:式を求める

中学1年生の数学の解説です。

数学の解き方 で 解説した「3つの要素」を 意識しましょう。
比例・反比例 どちらも \(x,y,a\) の 3つの要素があります。
\(x,y\)を 与えられるので、残りの \(a\) を 求めましょう。

比例の式：\(y=ax\) と 反比例の式：\(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) の比例定数（\(a\)の部分）を求めましょう。

※ まず「解法:1」で、座標(x,yの値）を代入して解くという、関数の基本について理解してください。これが理解できずに、公式として「解法:2」だけを暗記すると、今後出てくる1次関数や2次関数でつまづきます。「解法:1」が理解できたら「解法:2」の練習を繰り返して、比例定数を暗算で瞬間に計算できるように練習しましょう!　（暗算で計算できても”式”は書くこと!）

比例の問題

\(yがxに比例して、x=3のときy=9となる。yをxの式で表しなさい。\)

解法:1…基本的な解法を理解しよう!

• \(y\)が\(x\)に比例するので、\(y=ax\)の式を使います。
• \(y,a,x\)の3つの文字のうち、\(x\)と\(y\)については分かったので、代入して\(a\)を求めます。

\(y=axに x=3,y=9を代入\)
\(9=3a\)
\((3a=9:左辺にaがくるように両辺を入れ替え)\)
\(\displaystyle a=\frac{9}{3}\)
\(a=3\)
\(∴ y=3x\)

解法:2…基本が理解できたら、比例定数を簡単に求めよう!

• \(y=ax\)より、\(\displaystyle a=\frac{y}{x}\)（両辺をxでわる）
• これを利用すれば、\(x\)を分母,\(y\)を分子に入れるだけで\(a\)が出ます。
• 【注意】約分を忘れない!

\(\displaystyle a=\frac{9}{3}\)
\(a=3\)
\(∴ y=3x\)

反比例の問題

\(yがxに反比例して、x=2のときy=3となる。yをxの式で表しなさい。\)

解法:1…基本的な解法を理解しよう!

• \(y\)が\(x\)に反比例するので、\(y=\frac{a}{x}\)の式を使います。
• \(y,a,x\)の3つの文字のうち、\(x\)と\(y\)については分かったので、代入して\(a\)を求めます。

\(\displaystyle y=\frac{a}{x}に x=2,y=3を代入\)
\(\displaystyle 3=\frac{a}{2}\)
\(\displaystyle (\frac{a}{2}=3:左辺にaがくるように両辺を入れ替え)\)
\(a=3\times2\)
\(a=6\)
\(\displaystyle ∴ y=\frac{6}{x}\)

解法:2…基本が理解できたら、比例定数を簡単に求めよう!

• \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\)より、\(a=xy\)（両辺にxをかける）
• これを利用すれば、\(x\)と\(y\)をかけるだけで\(a\)が出ます。

\(a=2\times3\)
\(a=6\)
\(\displaystyle ∴ y=\frac{6}{x}\)

しっかりとマスターしてくださいね!

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